複數特徵向量
定義A 是n × n 方陣。若在Rn 之中存在非零向量使得Ax = λx，. 則稱純量λ 是A 的特徵值（eigenvalue），. 滿足Ax = λx 的向量x 稱為對應於λ 的特徵向量，. （eigenvector of A associated with eigenvalue λ），簡稱特徵向量。 重要觀念若x = 0 則當然Ax = λx = 0，但是依定義特徵向量不能是零向量。 重要觀念λ 可以是實數或者複數，特徵 ... ,A!=I ，3*3 real matrix，A^3=A^2-A+I (a)all possible eigenvalue (b)minial,characteristic polynomial (c)Is A diagonaliable (sol) (a) M(x)|(x-1)(x^2+1) A eigenvalue =1,i,-i 若只考慮佈於實數時eigenvalue = 1 (b) 因為A為real matrix =>i與-i成對出現PA(x)=-(x-1)(x^2+1) (c) 佈於複數時，, 此“旋转”非彼“旋转”。 一个n维的复数矩阵，表示的是n维复空间上的变换。 这个东西不太好想象，所以你可以把它看作是一个2n维实空间上的变换，但这个2n维实空间里，维度是两两成对的，每一对维度对应着复空间上的一维。 复特征值对应的特征向量，在实空间里经过变换确实会“旋转”，但只会旋转到同一对维度中的 ..., 假设是简单的对角化的情况。 特征向量和特征值是实数的时候，这个矩阵的几何意义就是沿着某个特征向量乘一个特征值的倍数，你可以理解成拉伸或者缩放。 如果特征值是复数，这个矩阵的几何意义就可以认为是在旋转，路径不一定是圆，也可以是螺线什么的。这时候特征值可以理解为一个和旋转角度有关的量。, 本文的閱讀等級：中級當我們發現實矩陣的特徵值可能為複數時，理應將向量與矩陣的數系由實數延伸至複數。話是這麼說…,在一定條件下（如其矩陣形式為實對稱矩陣的線性變換），一個變換可以由其特徵值和特徵向量完全表述，也就是說：所有的特徵向量組成了這向量空間的一組基底。一個特徵 ...... 最多有n個特徵值。反過來，如果A的係數是在一個代數閉體裡面（比如說複數域），那麼代數基本定理說明這個方程式剛好有n個根（如果重根也計算在內的話）。 ,如何計算三對角矩陣的特徵值與特徵向量？ 例： -beginbmatrix} b&a&0&0&0-- c&b&a&0&0-- 0&c&b&a&0-- 0&0&c&b&a-. 每週問題February 15, 2010. 如何計算共邊矩陣（bordered matrix）的特徵值？ 例： -beginbmatrix} 1&1&1&1-- 1&-1&am, 本文介紹自由振動系統的特徵值與特徵向量，目的在顯現其物理涵義：在多自由度的自由振動系統中，固有頻率由系統的特徵值決定，而振型(mode shape) 則由對應的特徵向量決定。 ... 是共軛複數，即 -alpha_2=-overline-alpha_1} 。 .... 兩物體的實際振動行為完全由初始位置決定，特徵向量 -mathbfu}_1=-left[-!-!, 下圖顯示透過二維實向量和複數的同化，線性算子 T_a,b} 對應乘數 a+bi ：. 複數的矩陣表示. 除了以實向量 (a,b) 表示複數 a+bi ，線性算子 T_a,b} 參考標準基底的表示矩陣 -left[-!-!-beginarray}cr} a& 是否也可用來表示 a+bi ？答案是肯定的。考慮複數 ... 倍(見“解讀複特徵值”)，因此不須計算即可推論 Z^k=r^k-left[-!-!, 本文的閱讀等級：初級. 令 A 為一 n-times n 階實矩陣。若 A 的特徵值為複數，矩陣 A 所代表的線性變換有何作為？如果 A 是常微分方程的係數矩陣，微分方程 -fracd-mathbfu}}dt}=A- 的解又有甚麼特性？複特徵值常出現在一些科學和工程應用中，通過探討此問題可以聯繫線性代數和微分方程之間的關係。
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Chapter 8 特徵值、特徵向量、對角線化
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