二階偏微分
偏微分方程(Partial Differential Equations). 二階偏微分方程式. 例： (熱傳導方程式). (波動方程式). (拉普拉斯方程式). 設雙變數二階P.D.E.為：. (1). 其中係數均為x、y的光滑函數且a、b、c不同時為零。假設：. (2). 且 (3). 則可解得以及，並可得：. (4.a). (4.b). (4.c). (4.d). (4.e). 將第(4)式代入第(1)式後可得：. (5). 其中：. (6.a). (6.b). (6.c). (6.d). ,傅立葉(Fourier)分析與偏微分方程式單元(十五) Sturm–Liouville 問題邊界值問題 - Duration: 43:44. TC Lin 8,444 views · 43:44. 旅 ... , Chap2. 偏微分方程式(Partial Differential Eq , PDE). 2 ... P.D.E.中的解: 凡一多變函數及其偏導數代入一P.D.E.在其範圍內均滿足該方程式，則此多變 ... P.S. 初始條件為時間一開始三位移or 速度. (C). 常見P.D.E.. 1. 1 階線性P.D.E.之型式. ),(. ),(. ),(. yxG y u. yxB x y. yxA. = ∂. ∂. +. ∂. ∂. 2. 2 階. 2. 2. 2. 2. 2. ( , ). ( , ),4. 雙變數函數的偏導數. 考慮多變數函數f 對某一個獨立變數的改變率(the rate of change)。 這個程序就是偏微分法(partial differentiation)，其結果是函數 f 對某一選擇獨立變數作偏導數(partial derivative)。 ,變數可分離偏微分方程[Separable Partial Differential Equation]. ── 線性方程式[Linear Equation]. 雙變數線性二階偏微分方程式[P.D.E.]之一般型式為：. G. Fu y. uE x. uD y. uC yx u. B x. uA. = +. ∂. ∂. +. ∂. ∂. +. ∂. ∂. +. ∂. ∂. ∂. +. ∂. ∂. 2. 2. 2. 2. 2 …….….. (1). 其中，A，B，C，…，G 均為x， y 的函數。 ** 當G,跳到 二階偏微分方程 - 該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程。可變形為：. A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. -displaystyle Ax^2}+2Bxy+Cy^2}+-cdots =0.} Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + -cdots = 0. 該二階偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，其分類方式為：. B 2 − A C < 0 -displaystyle B^2}-AC-,<0} B^2 ... ,跳到 二階偏微分方程 - 該偏微分方程在該平面上為二階偏微分方程。可變形為：. A x 2 + 2 B x y + C y 2 + ⋯ = 0. -displaystyle Ax^2}+2Bxy+Cy^2}+-cdots =0.} Ax^2 + 2Bxy + Cy^2 + -cdots = 0. 該二階偏微分方程可分類為：拋物線方程，雙曲線方程和橢圓方程，其分類方式為：. B 2 − A C < 0 -displaystyle B^2}-AC-,<0} B^2 ... , 數值偏微分方程. 偏微分方程（PDE）與常微分方程（ODE）的差別在於偏微分方程有兩個或兩個以上的自變數。我們這一章只討論一般型的二階偏微分方程，他的基本形式如下： -(A(x,y) -frac-partial^2 u}-partial x^2} + B(x,y) -frac-partial^2 u}-partial x -partial y} + C(x,y) -frac-partial^2 u}-partial y^2} = f(x,y,u ...,二次偏微分檢驗. 定理13.17 二階偏導數檢定法(Second Partials Test). 設f(x,y)在一開區域(Open disk)內的點(a,b)有連續的二階偏導. 數，且. 設 。 1. 如果. 且. ，則函數在點有相對極小值。 2. 如果. 且. ，則函數在點有相對極大值。 3. 如果. ，則. 為一個鞍點(Saddle point)。 4. 如果. ，則無結論。 ( ). ( ). ,. 0. ,. 0 x y f ab f ab. = = 、 。 ( ) ( ). ( ) 2.
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